Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Soient $f \in\mathcal{C}^0\left([0,1],[0,1]\right)$ et $(u_n)$ définie par $u_0 \in [0,1]$ et $u_{n+1}=f(u_n)$. On suppose que $u_{n+1}-u_n \underset{n \to \infty}{\rightarrow} 0$. Montrer que $u$ converge.
Exercice 2
On rappelle que la partie fractionnaire est définie, pour $x\in\mathbb{R}$ par $\{x\} = x - \lfloor x\rfloor $. Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Montrer que $\{n\sqrt{2}\}>\frac{1}{2n\sqrt{2}}$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Exercice 1 : montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de $u$ est un singleton ou un segment.
Commentaires divers
Exercice 2 à peine abordé.
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