Énoncé(s) donné(s)
Soit $H$ un espace préhilbertien réel. On dit que $(u_n) \in H^{\mathbb{N}}$ vérifie (F) si et seulement si $\exists u \in H, \forall v \in H, \left \langle u_n,v \right \rangle\underset{n\rightarrow \infty}{\rightarrow} \left \langle u,v \right \rangle.$
1) Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ vérifiant (F). Montrer que $\left \| u_n-u \right \|\underset{n\rightarrow \infty}{\rightarrow} 0 \Leftrightarrow \left \| u_n \right \|\underset{n \rightarrow \infty}{\rightarrow}\left \| u \right \|.$
2) On pose $\forall v \in H, f(v)=\left \| v \right \|^{2}-\left | \left \langle w,v \right \rangle \right |^{\frac{3}{2}},$ où $w\in H$ est fixé. Montrer que $f$ atteint son minimun sur $H$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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