Soit $\left ( E,\left \| \cdot \right \| \right )$ un espace vectoriel normé, et $A$ une partie compacte non vide de $E$.
Montrer que $A\times A$ est compact.
Soit $f:A\rightarrow A$ vérifiant $\forall \left ( x,y \right )\in A^{2}, \ \ x\neq y \Rightarrow \left \| f(x)-f(y) \right \|< \left \| x-y \right \|$. Montrer que $f$ admet un unique point fixe.
On suppose maintenant que $f$ vérifie $\forall \left ( x,y \right )\in A^{2}, \ \left \| f(x)-f(y) \right \|\geqslant \left \| x-y \right \|$. Montrer que $f$ est bijective et que $f$ préserve les distances, c'est-à-dire $\forall \left ( x,y \right )\in A^{2}, \ \left \| f(x)-f(y) \right \|= \left \| x-y \right \|$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve Pour la question 3, ayant manqué de temps en fin d'exercice, l'examinateur m'a d'abord fait démontrer la surjectivité en supposant que f préserve les distances et que f(A) est dense. J'ai ensuite montré que f(A) est dense si f préserve les distances mais je n'ai pas eu le temps de montrer cette hypothèse. Commentaires divers
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