Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Année : 2018

Filière : MP

Concours : Banque Mines-Ponts

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Algèbre - Analyse

Énoncé(s) donné(s)
$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{f}}$

On pose $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}n^xe^{-nx}$

1) Déterminer l'ensemble de définition de $f.$

2) Montrer que $f$ est convexe.

3) Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et un équivalent de $f$ en $0^+$.

$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{f}}$
Soit $u\in \mathcal L(E,F) $ et $v\in \mathcal L(F,E)$.

On suppose que $u=u\circ v\circ u$ et $v=v\circ u\circ v$.

Montrer que $E=\operatorname{Ker}u\oplus \operatorname{Im}v.$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Exercice 2 : penser à étudier $u\circ v$
Commentaires divers

Epreuve Orale 4443