Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Exercice 81 de la Banque.
Exercice 2
Soit $f$ : $[0,+\infty[\longrightarrow \mathbb R$, continue et $\pi$-périodique, vérifiant $\int_0^{\pi} f(t)\, dt=0$.
Pour $n\in\mathbb N^*$, on pose $u_n=\int_0^{\pi}f(t)e^{-t/n}\, dt$ et $v_n=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-t/n}\, dt$.
- Justifier que $u_n$ et $v_n$ sont bien définis pour tout $n\in\mathbb N^*$.
-
Montrer qu'il existe une suite $(a_n)$, que l'on précisera, telle que $v_n=a_nu_n$ pour tout $n\in\mathbb N^*$.
-
Montrer que $\displaystyle a_n\sim \frac{n}{\pi}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
-
Montrer que $(u_n)$ tend vers 0. Montrer que $(v_n)$ converge, et préciser sa limite.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
13/07/2018 à 17:49