Montrez que somme $\sum_{i=1}^n(b_i -a_i )^2\leqslant \operatorname{Tr}((B-A)^2).$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
1- Montrez que l'on peut se ramener au cas où $A$ est diagonale.
2- En notant $B=QDQ^T$ avec $D$ diagonale et $Q=(q_{i,j})$ orthogonale, exprimez $\operatorname{Tr}((B-A)^2)$ en fonction de $QD-AQ.$
3- Remarquez que la matrice $(q_{i,j}^2)$ est bi-stochastique (i.e. les coefficients sont positifs et la somme des coefficients sur chaque ligne et chaque colonne vaut 1).
4- On se ramène ainsi à déterminer le mininum de la somme $\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}p_{i,j}(b_i-a_i)^2$ avec $(p_{i,j})$ matrice bi-stochastique quelconque (le mininum est atteint pour la matrice identité, mais je n'ai pas eu le temps de le démontrer).
Commentaires divers
Examinateur sympatique. Il m'a laissé le temps de tester mes idées et distillait les indications au fur et à mesure.
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