Epreuve Orale 4415

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2018
Filière : 
MP
Concours : 
Centrale-Supélec
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Suite de Fibonacci, Matrices symétriques, python
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
On considère la suite dite de Fibonacci, définie comme suit :
         $\begin{cases}F_0=0,\ F_1=1\\ \forall n\in \mathbb{N},\ F_{n+2}= F_{n+1}+F_n\quad (*)\end{cases}$
On pose, pour $n \in \mathbb N ^\ast$, $A_n = \big(F_{i+j}\big)_{ 1 \leqslant i,j \leqslant n}$.
On note $f_n$ l'application linéaire canoniquement associée à $A_n$. On pose : $r =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, et $s = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$.

$\boxed{\textbf{ Question préliminaire }\vphantom{f}}$
Donner l'expression de $F_n$ en fonction de $n$.

$\boxed{\textbf{ Question 1 }\vphantom{f}}$
Coder une fonction $\tt Python$ qui prend en argument un entier $n$ et qui renvoie la matrice $A_n$.

$\boxed{\textbf{ Question 2 }\vphantom{f}}$
a) Calculer des valeurs approchées des valeurs propres des matrices $A_n$ pour $2 \leqslant n \leqslant 7$. En déduire une conjecture sur les valeurs propres de $A_n$.
    Calculer des vecteurs propres associés aux valeurs propres de $A_n$ pour $2 \leqslant n \leqslant 7$. Remarquer que les coefficients des vecteurs propres associés vérifient la relation (*).
b) Démontrer la conjecture de la question précédente. On notera $\alpha_n$ la valeur propre strictement positive et $\beta_n$ la valeur propre strictement négative de $A_n$.
    On pourra faire le calcul suivant : $X^TA_nX$, où $X$ est la colonne $(1,-1,0,\dots,0)^T$.

$\boxed{\textbf{ Question 3 }\vphantom{f}}$
Montrer que $\alpha_n$ tend vers $+\infty$ quand $n \to +\infty$.

$\boxed{\textbf{ Question 4 }\vphantom{f}}$
Montrer que : $\forall x \in \mathbb R ^n,\ \beta_n \Vert x\Vert^2 \leqslant \langle x \vert f_n(x) \leqslant \alpha _n \Vert x \Vert ^2$.

$\boxed{\textbf{ Question 5 }\vphantom{f}}$
On considère $C_n = \big(r^{i+j}\big)_{ 1 \leqslant i,j \leqslant n}$, et $D_n = \big(s^{i+j}\big)_{ 1 \leqslant i,j \leqslant n}.$
On note $g_n$ et $h_n$ les endomorphismes canoniquement associés à $C_n$ et $D_n$.
a) Montrer que $g_n$ et $h_n$ sont diagonalisables, et calculer leurs valeurs propres.

Notes
Question 2.a) : la conjecture à faire est : il y a une unique valeur propre strictement positive, et une unique valeur propre strictement négative.
Il restait encore des questions 5.b) et 5.c), mais je n'ai malheureusement pas eu le temps d'en prendre connaissance.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Question 2.b) : Calculer plutôt $X^TA_nX$, où $X$ est la colonne $(1,a,0,...,0)^T$, avec $a \in \mathbb{R}$. De plus, que dire de la trace de $A_n$ ?
Commentaires divers
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