Epreuve Orale 4380

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2018
Filière : 
MP
Concours : 
X (non PC/PSI)
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Polynômes, Equations différentielles
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
$\boxed{\textbf{Exercice 1 }\vphantom{f}}$
Soit $P\in\mathbb{R}[X]$ tel que $\forall x \in\mathbb{C}, P(x) = 0\Rightarrow \mathcal{Re}(x) < 0$. Montrer que tous les coefficients de $P$ sont de même signe.

$\boxed{\textbf{Exercice 2 }\vphantom{f}}$
Soit $P\in\mathbb{C}[X]$ tel que $\forall x >0, P(x) > 0$. Montrer qu'il existe $S, T \in \mathbb{R}[X]$ tels que $P = \frac{S}{T}$ où tous les coefficients de $S$ sont de même signe et ceux de $T$ également (mais les signes sont éventuellement différents entre $S$ et $T$.

$\boxed{\textbf{Exercice 3 }\vphantom{f}}$
Soit $x\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R},\mathbb{R}^*_+)$ vérifiant $x''=\frac{1-x}{x^3}$. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $x(0)$ et $x'(0)$ pour que $x$ soit bornée.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Ne pas chercher de liens entre les deux premiers exercices.
Multiplier l'équation différentielle par $x'$
Commentaires divers
L'étude de l'équation différentielle amène à une approche très physique du système, en pouvant faire une analogie avec un raisonnement énergétique dans un puits de potentiel et en étudiant des portraits de phases.
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