Epreuve Orale 4374

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2018
Filière : 
PSI
Concours : 
Centrale-Supélec
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Produit scalaire, base orthogonale
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
Soit $n \geqslant 2$. Une matrice $M \in \mathbb{R}$ vérifie la propriété P lorsque $\forall X \in M _{n,1}(\mathbb{R}), \ X \not= 0, \ {}^t\!XMX > 0$.
On définit alors $\Phi _M : (X,Y) \in M _{n,1}(\mathbb{R})^2 \mapsto {}^t\!XMY$.
Une famille $(V_1, \ldots , V_n)$ est dite $M$-conjuguée lorsque $\forall i,j \in [\![ 1, n ]\!], \ \Phi _M(V_i,V_j) =\delta _{i,j}$.
Soit $A = \left(\begin{array}{ccc} 5&1&4\\1&5&2\\4&2&4\end{array}\right)$.
  1. Montrer que $A$ vérifie P.
  2. Montrer que $\Phi_A$ est un produit scalaire de $\mathbb{R}^3$.
  3. Déterminer une base orthonormale de $\mathbb{R}^3$ pour le produit scalaire $\Phi _A$ en utilisant le procédé de Gram-Schmidt.
  4. Déterminer deux bases $(u_1,u_2,u_3)$ et $(v_1,v_2,v_3)$ de $\mathbb{R}^3$ qui soient $A$-conjuguées.
  5. Comparer $\displaystyle\sum_{i=1}^3 u_i\cdot {}^t\!u_i$, $\displaystyle\sum_{i=1}^3 v_i\cdot {}^t\!v_i$ et $A^{-1}$.
  6. ???

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers
Calculs avec Python
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