Énoncé(s) donné(s)1)
Soit $A$ et $B$ deux matrices carrées de tailles $n$. Montrer l'équivalence entre les deux propriétés :
(i) Les polynômes caractéristiques de $A$ et $B$ sont premiers entre eux.
(ii) L'équation $AX = XB$ n'a aucune solution dans $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
2)
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\mathbb N$.
On suppose que $XY$ suit une loi de Poisson.
Montrer que $X$ ou $Y$ ne prend presque sûrement que la valeur 0 et 1, c'est à dire que $X$ ou $Y$ appartient presque sûrement à $\{0,1\}$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour le second exercice, on pourra regarder la probabilité que $XY$ prenne la valeur $k$, et l'utiliser pour des valeurs remarquables de $k$, puis en déduire des résultats sur les probabilités de $X$ et $Y$.
Commentaires divers
26/08/2018 à 08:13