Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

   Une spire circulaire de masse $m$, de résistance $R$, d'inductance propre négligeable, de rayon $a$ et de centre $O$ est suspendue par un fil situé entre $O_1$ et $O_2$ qui est sans torsion. Ainsi, la spire peut se mouvoir en toute liberté.
Le vecteur surface de la spire $\overrightarrow{S}$ forme un angle $\theta$ avec l'axe $Ox$. Il y a existence d'un champ extérieur uniforme $B\overrightarrow{e_x}$. Nous lâchons la spire avec un angle $\theta$ et avec une vitesse angulaire $\dot{\theta} = \dot{\theta}_0$.

1. a) Calculez $i(t)$, l'intensité parcourant la spire pour tout temps $t$.
    b) En s'inspirant de la spire rectangulaire, quel est le couple s'appliquant à la spire ?
    c) En quoi ce moment était-il prévisible ?

2. a) La spire ayant un moment d'inertie $J = \frac{1}{2} m a^2$, trouvez l'équation différentielle régissant le mouvement de la spire.
    b) En intégrant l'équation, trouvez une relation entre $\theta (t), \dot{\theta} (t), \dot{\theta}_0$.

Exercice 2.

   Une barre de masse volumique $\rho$, de capacité thermique volumique $C_B$ et de résistance thermique $\lambda$ est placée entre un corps à la température initiale $T_1$ et un autre corps à la température initiale $T_2$. Les parois latérales de la barre sont d'ailleurs calorifugées et nous supposons $T = T(x;t)$.

   I - Les corps sont des thermostats.

1) Que vaut $T(x)$ en régime établi ?

   II - Avec des corps à températures changeantes.

   Soient $\tau_b$, la durée caractéristique d'évolution de température dans la barre et $\tau$, celle d'évolution de la température dans les corps. Nous considérons que le régime est semi-permanent ; le régime établi est atteint à chaque instant.

2) Quelle est la condition sur $\frac{\tau_B}{\tau}$ pour que l'hypothèse soit valable ?

3) Calculez le temps $t$ tel que $T_{10} - T_{20} = \frac{1}{2}(T_1 - T_2)$ avec $T_{10}$ et $T_{20}$ les températures respectives du corps 1 et 2 à ce temps $t$.