Énoncé(s) donné(s)Exercice 1 : exercice 84 de la Banque CCP (racines de l'unité)
Exercice 2
Soit $E= \mathfrak M_n(\mathbb C).$ On définit
$\forall A\in E,\ N(A)=\max\limits_{1\leqslant i\leqslant n}\left(\sum_{j=1}^n |a_{i,j}|\right)\quad,\quad \rho(A)=\max\{|\lambda|\ /\ \lambda\in \operatorname{Sp}(A)\}$)
a) Montrer que $N$ est une norme telle que $N(AB) \leqslant N(A)N(B)$ pour $A,B\in E.$ La fonction $\rho$ est-elle une norme sur $E$ ?
b) Montrer que $\rho(A)\leqslant N(A)$ pour tout $A\in E.$
c) On suppose que $\rho(A)<1.$ Prouver que $\sum_{k\geqslant 0} A^k$ converge et déterminer sa somme.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Utiliser un vecteur propre pour la question b).
Commentaires divers
L'examinateur se baladait dans la salle pendant que je lui parlais, il s'arrêtait losque je faisais des erreurs.
Il manque le c) je ne m'en souviens plus
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