Énoncé(s) donné(s)
Soient $d \in \mathbb{N}^*$, $\|.\|$ la norme euclidienne sur $\mathbb{R}^d$, $B_d=\{u \in \mathbb{R}^d,\|u\| \leqslant 1\}$ et, pour $f \in \mathcal L(\mathbb{R}^d)$, $N(f)=\sup\{\|f(u)\|, u\in B_d\}$.
1. Montrer que $N$ est une norme. Calculer $N(p)$ pour $p$ projecteur orthogonal.
2. Soit $p$ un projecteur. Montrer l'équivalence : $p$ est un projecteur orthogonal $\Longleftrightarrow $ $N(p)=1$.
3. Montrer que l'ensemble des projecteurs orthogonaux est un compact de $\mathcal L(\mathbb{R}^d)$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Ne donne pas d'indications.
Commentaires divers
L'examinatrice m'a donné le sujet dans le couloir, et au vu de la courte durée de l'oral, le temps de lecture dans le couloire (le temps d'aller jusqu'à la salle) était pris en compte dans les 30 minutes ! Elle embêtait sur des détails ; dès que je disais quelque chose, elle me demandait de le démontrer rigoureusement au tableau et concluait à chaque fois "vous voyez que ce n'était pas évident" (alors que je le prouvais plutôt vite et bien selon moi). Bref, on perdait du temps...
06/07/2018 à 16:23
18/07/2018 à 14:49
22/07/2018 à 11:53