Epreuve Orale 4155

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2018
Filière : 
MP
Concours : 
Mines-Télécom (hors Mines-Ponts)
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Bases, Convergence simple/uniforme, endomorphisme nilpotent, Diagonalisation
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
  1. Donner la définition de la convergence uniforme d'une suite de fonctions $(f_n)$ d'un intervalle $I$ dans $\mathbb R$.
  2. Énoncer puis démontrer le théorème de continuité d'une limite uniforme. Indication : on pourra remarquer que $f(x)-f(a)=f(x)-f_n(x)+f_n(x)-f_n(a)+f_n(a)-f(a)$.
  3. Pour tout $n\in\mathbb N$ et tout $x\in\mathbb R_+$, on pose $\displaystyle f_n(x)= \frac{1-x^n}{1+x^n}$. Étudier la convergence simple de la suite $(f_n)$. Y a-t-il convergence uniforme sur $\mathbb R_+$ ?
Exercice 2
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension $n\geqslant 1$ ; soit $f\in\mathcal L(E)$, nilpotent d'indice $n$.
  1. Montrer que $f$ n'est ni injective ni surjective.
  2. Montrer qu'il existe $x_0\in E$ tel que $\mathcal B= \bigl( x_0,f(x_0),\ldots ,f^{n-1}(x_0)\bigr)$ soit une base de $E$.
  3. Donner la matrice de $f$ dans $\mathcal B$.
  4. L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ? On donnera deux méthodes.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers

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