Epreuve Orale 4154

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2018
Filière : 
MP
Concours : 
Mines-Télécom (hors Mines-Ponts)
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Série de fonctions, Diagonalisabilité, série de fonction, Réduction des matrices
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s) : Sujet n°14

Exercice 1
 On pose : $\forall x \in \mathbb{R}\setminus \{ -1\}, \forall n \in \mathbb{N}^*,\, u_n(x) = \dfrac{(-1)^{n-1}}{n} \dfrac{x^n}{1+x^n},\, f(x) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_n (x).$

1. Montrer que pour $x\neq -1$, $f(x)$ est bien définie.
2. Pour $x\notin\{0,-1\}$, calculez $f(x)+f\left( \frac{1}{x} \right)$.
3. Étudier la continuité de $f$.

Exercice 2
Soient $A$ une matrice diagonalisable et $B=\begin{pmatrix} 0 & 2A \\  -A & 3A \\  \end{pmatrix}$.
Montrez que $B$ est diagonalisable.

Indication fournie par l'examinateur pendant l'épreuve :
Pour l'exercice 2 :
« Comme il reste peu de temps, considérez la matrice $M= \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix}$ et montrez que $M$ est diagonalisable. Ainsi, déduisez le résultat. »
Qualité de ce compte-rendu
5
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