On considère un fil contenu dans un plan, d'équation $z=f(r)$, où f est une fonction croissante.
Le plan du fil est en rotation uniforme autour de l'axe $Oz$, avec une pulsation $\omega$.
Une bague est enfilée sur nôtre fil, elle peut s'y déplacer sans frottements.
Soit $r_0 > 0$, à quelle condition sur $\omega$ la position $\left (r_0, f(r_0) \right )$ est-elle une position d'équilibre pour la bague ?
Exhiber une condition pour que cet équilibre soit stable ; l'interpréter qualitativement à l'aide du schéma.
Déterminer dans les cas stables et instables l'équation de la trajectoire de la bague lorsque qu'elle s'écarte légèrement de la position d'équilibre.
Tracer les forces appliquées à la bague à une abscisse $r$ quelconque ; exhiber une relation liant $T_r$, $T_z$ (les composantes de la force tangentielle), et $f'(r)$.
En notant $r(t)$ et $z(t)$ les coordonnées de la bague dans le plan à chaque instant, exprimer $\dot{z}$ en fonction de $\dot{r}$ et $f'(r)$.
À partir de la relation précédente, exprimer $\ddot{z}$ en fonction des autres paramètres, et interpréter les deux termes obtenus qualitativement.
Planche 2 :
On considère un tube de section $S$ creux et fin, courbé en forme de U (cf schéma).
On suppose qu'à l'instant initial, il y a un peu plus d'eau dans l'une des branches, ce qui va engendrer des oscillations jusqu'à ce que le système ait retrouvé son état d'équilibre (un niveau d'eau égal dans les deux branches).
Déterminer la fréquences des oscillations.
Indication(s) possibles :
Planche 1 :
On adopte un raisonnement énergétique, en introduisant l'énergie potentielle de d'inertie d'entrainement : $E_p = E_{p_{ie}} + mgz = -\frac{1}{2}m\omega^2r^2 + mgf(r)$.
Donc $\frac{dE_p}{dt}(r_0) = 0 \Leftrightarrow \omega =\sqrt{\frac{gf'(r_0)}{r_0}}$.
Pour la trajectoire : On a (dl) :$ E_m = cte \simeq \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + \dot{z}^2) + E_p(r_0) + \frac{1}{2}\frac{d^2E_p}{dt^2}(r_0)(r-r_0)^2 $
Puis en utilisant $\dot{z} = f'(r)\dot{r}\simeq f'(r_0)\dot{r}$ (à justifier), en dérivant et en divisant par $\dot{r}$ il vient
$(1+f'(r_0)^2)\ddot{r} + \frac{d^2E_p}{dt^2}(r_0)(r-r_0) = 0$, d'où l'équation de la trajectoire et le caractère stable/instable selon le signe de $\frac{d^2E_p}{dt^2}(r_0)$.
Via le schéma de droite, on montre que $\frac{T_r}{T_z}=f'(r)$
Enfin, pour le dernier point, on dérive selon $t$ la relation $\dot{z} = \dot{r}f'(r)$, avec $\frac{df'(r)}{dt} = f''(r)\dot{r}$, il vient
$\ddot{z} = \ddot{r}f'(r) + \dot{r}^2f''(r) $.
Explication qualitative : le premier terme indique que la bague suit la tangente au fil, alors que le deuxième indique quelle suit également la courbure.
Planche 2 :
On choisit comme repère la position d'équilibre, et on note $x$ l'altitude du niveau d'eau à chaque instant.
On choisit également l'énergie potentielle de pesanteur nulle à l'équilibre.
Ainsi, en considérant le déplacement de la masse d'eau :
$E_p = (\frac{1}{2}x)g\rho_{eau}Sx - (-\frac{1}{2}x)g\rho_{eau}Sx = g \rho_{eau}Sx^2$
Et comme le tube t fin, on peut considérer que toute les molécules d'eau sont à la m^me vitesse $\dot{x}$.
Ainsi :
$E_m = cte = g \rho_{eau}Sx^2 + \frac{1}{2}m\dot{x}^2$ ;
puis en dérivant et divisant par $\dot{x}$, il vient $\ddot{x} + \omega_0x = 0$, avec $\omega_0 = \sqrt{\frac{m}{2g\rho_{eau}S}}$.
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