Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$

Soit $\displaystyle f(x)=\int_0^1\frac{\exp(-x(1+t^2))}{1+t^2}\,\mathrm dt.$
0. Domaine de définition de $f$
1. Montrer que $f$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et exprimer $f'(x).$
2. On pose $g(x)=f(x^2)$, montrer que $\displaystyle g(x)+\left(\int_0^x\exp(-t^2)\,\mathrm dt\right)^2= \frac{\pi}{4}.$
3. Conclure sur la valeur de $\displaystyle\int_0^\infty\exp(-t^2)\,\mathrm dt.$

$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $E$ un $\mathbb K$-ev de dimension finie. Montrer l'équivalence entre les deux propositions :

(1) $\operatorname{Im}u\oplus \operatorname{Ker}u = E.$
(2) Il existe $v \in \mathcal L(E)$ tel que $u\circ v = 0$ et $u+v$ inversible.