Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Exercice 84 de la Banque CCP.

$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$
On introduit la suite de fonction suivante $U_n(x)=\mathrm e^{-x\ln n}$.
1) Déterminer les éventuels domaines de convergence simple, uniforme et normale de la série associé à $U_n(x)$.
2) Soit $\zeta(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{x}}$.
    Caractère $\mathcal C^0 $ de $\zeta$ ? $\lim\limits_{x\to\infty }\zeta(x)$ ?
3) La fonction $\zeta$ est elle convexe ?
4) Prouver que $\zeta(x)\sim\frac{1}{x-1}$ quand $x$ tend vers $1^+$.
5) Tracer le graphe de $\zeta$.