Énoncé(s) donné(s)On définit un produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle$ sur $\mathbb R^n.$
Soit $f$ un endomorphisme symétrique de $\mathbb R^n$ à valeurs propres strictement positives.
1. Montrer que pour tout $h$ dans $\mathbb R^n \setminus\{0\}$, $\langle f(h),h\rangle>0.$
2. Soit $u$ dans $\mathbb R^n$. On définit la fonction $g$ par $\forall x\in \mathbb R^n,\ g(x)=\frac 12 \langle f(x),x\rangle - \langle u,x\rangle $.
a) Monter que $g$ est différentiable en tout point de $\mathbb R^n$ et expliciter sa différentielle.
b) Montrer que $g$ admet un unique point critique en $x_0=f^{-1}(u).$
c) Montrer que $g$ admet un maximum global en $x_0$ (on pourra étudier le signe de $g(x_0+h)-g(x_0)$).
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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