Énoncé(s) donné(s)$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $ f : \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}_{+} $ continue, bornée et intégrable.
1) Justifier l'existence de $u_{n} = \int_{0}^{+\infty } f^{n} (t)\,\mathrm dt $ pour tout $n \in \mathbb N^*$.
2) Discuter la convergence de $ \sum u_{n} $ en fonction de $ \| f \| _{\infty }.$
$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $ E $ un espace euclidien. Soit $ u $ un endomorphisme symétrique de $ E $ tel que $ \operatorname{Tr}u = 0 $.
1) Montrer qu'il existe $x \in E \setminus\{0\} $ tel que $\langle u(x) , x \rangle = 0.$
2) Soit $ n \in \mathbb{N}^{*}$ et $A\in \mathfrak M_{n}( \mathbb{R}) $.
Montrer qu'il existe $P\in O_{n}( \mathbb{R}) $ telle que tous les coefficients diagonaux de $ P^{-1}AP $ soient égaux.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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