Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
L'espace euclidien $E=\mathscr M_n(\mathbb R)$ est muni du produit scalaire canonique défini par $\forall(A,B)\in E\times E,\quad (A|B)=\mathrm{tr}\big( A^TB\big).$
$\mathscr S_n(\mathbb R)$ est l'ensemble des matrices symétriques réelles et $\mathscr A_n(\mathbb R)$ celui des matrices antisymétriques réelles de $E$.
a)  Montrer que $\mathscr S_n(\mathbb R)$ et $\mathscr A_n(\mathbb R)$ sont des sous-espaces supplémentaires orthogonaux dans $E$.
b) Exprimer en fonction de $M\in E$ la distance de $M$ à $\mathscr S_n(\mathbb R)$.
c) Faire le calcul pour $M=\begin{pmatrix}1&1&\ldots&1\\2&2&\ldots&2\\\vdots&\vdots&&\vdots\\n&n&\ldots&n\end{pmatrix}$. 
NC
Commentaires divers
NC