Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

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Epreuve Orale 3791

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2017

Filière : PSI

Concours : X-ENS Cachan (PSI)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Equation différentielle - Topologie

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Soit $E=\{ f \in C^2([0,1],R), f(0)=f'(0)=0\}$ et $\|f\|=\|f+2f'+f''\|_\infty$.
1. Montrer que $\|-\|$ est une norme sur $E$.
 Soit $f \in E$. On pose $g=f+2f'+f''$.
2. Montrer que $\forall t \in [0,1],\ f(t)=e^{-t} \int_0^t(t-x)e^x g(x) d x$.
3. Montrer qu'il existe un réel $a>0$ tel que $\forall f \in E,\ \|f\|_\infty\leq a \|f\|$.
    Trouver le plus petit $a$ vérifiant la relation précédente.
4. Existe-t-il un réel $b>0$ tel que $\forall f \in E,\ \|f\|\leq b \|f\|_\infty$ ?

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
NC
Commentaires divers
NC

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