Epreuve Orale 3788

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2017
Filière : 
MP
Concours : 
Centrale-Supélec
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Algèbre linéaire
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
Soit $E$ un espace vectoriel complexe de dimension finie $n.$ Soit $G$ une partie de $\mathcal L(E).$
On suppose que $G$ est un groupe pour la composition non réduit à $\{0\}.$
1. On note $j$ l’élément neutre de $G.$ Comment le caractériser en tant qu’endomorphisme de $E$ ?
2. Montrer que tous les éléments de $G$ sont de même rang $r\geqslant 1.$
    Indication. Trouver une base de $E$ dans laquelle la matrice la matrice de tout $u\in G$ est de la forme $M=\left(\begin{array}{c|c}A & 0\\ \hline0 & 0\end{array}\right)$ avec $A\in \mathrm{GL}_r(\mathbb R).$
3. On note pour $\sigma$ dans le groupe symétrique $u_\sigma : e_i\mapsto e_\sigma(i)$, pour tout $i$ dans $\{1,\ldots,n\},$ où $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$.
    On pose $G=\{u_\sigma, \sigma\in \mathcal S_n\}.$ 
    a) Montrer que $G$ est un groupe pour la composition.
    b) Montrer que les seuls sous-espaces non triviaux de $E$ stables par tous les éléments de $G$ sont l'hyperplan $H$ d'équation  $x_1\dots+x_n=0$ et la droite $D$ engendrée par le vecteur $e_1+\dots+e_n.$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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