Epreuve Orale 3787

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2017
Filière : 
MP
Concours : 
Banque Mines-Ponts
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Topologie, Espaces euclidiens
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Soit $n\in\mathbb N.$ On considère les ensembles suivants :
$\Lambda_n=\{(x , y \in\mathbb R^2,\ x^2+ y^2=n\}$ et $\Delta_n= \{(x , y )\in\mathbb Q^2,\ x^2+ y^2=n\}.$
1. $\Delta_1$ est-il dense dans $\Lambda_1$ ?
2. $\Delta_2$ est-il dense dans $\Lambda_2$ ?
3. $\Delta_3$ est-il dense dans $\Lambda_3$ ?
4. Donner une CNS pour que $\Delta_n$ soit dense dans $\Lambda_n.$

Exercice 2
Soient $E$ un espace euclidien de dimension finie $n\geqslant 1$ et $u\in \mathrm O(E).$
1. On suppose que $(u−I_E)^2=0.$
    Comparer $ \operatorname {Ker} (u−I_E),\operatorname {Ker} (u^{−1}−I_E),\operatorname { Im}(u – I_E).$
    En déduire que $u=I_E.$
2. Déterminer de même $u$ lorsque $(u−\lambda I_E)^2=0.$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Exercice 1.  Poser $t=\tan(\frac\theta 2).$
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