Exercice 1
Soit $n\in\mathbb N.$ On considère les ensembles suivants :
$\Lambda_n=\{(x , y \in\mathbb R^2,\ x^2+ y^2=n\}$ et $\Delta_n= \{(x , y )\in\mathbb Q^2,\ x^2+ y^2=n\}.$
1. $\Delta_1$ est-il dense dans $\Lambda_1$ ?
2. $\Delta_2$ est-il dense dans $\Lambda_2$ ?
3. $\Delta_3$ est-il dense dans $\Lambda_3$ ?
4. Donner une CNS pour que $\Delta_n$ soit dense dans $\Lambda_n.$
Exercice 2
Soient $E$ un espace euclidien de dimension finie $n\geqslant 1$ et $u\in \mathrm O(E).$
1. On suppose que $(u−I_E)^2=0.$
Comparer $ \operatorname {Ker} (u−I_E),\operatorname {Ker} (u^{−1}−I_E),\operatorname { Im}(u – I_E).$
En déduire que $u=I_E.$
2. Déterminer de même $u$ lorsque $(u−\lambda I_E)^2=0.$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuveExercice 1. Poser $t=\tan(\frac\theta 2).$
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