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Epreuve Orale 3779

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2017

Filière : MP

Concours : ENS (non PSI)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Calcul asymptotique - Calcul différentiel

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Soit $\varphi : \mathbb{R}^{*}_{+} \to \mathbb{R}^{*}_{+}$ une fonction $C^{1}$.
On suppose que $\lim\limits_{x \to +\infty }\left ( \frac{x\varphi'(x)}{\varphi(x)}\right ) = \beta \in \mathbb{R}^{*}_{+}$.
1) Montrer que $\displaystyle\forall\lambda > 0, \,\lim\limits_{x \to +\infty }\left (\frac{\varphi(\lambda x)}{\varphi(x)}\right )=\lambda^{\beta}$.
2) On suppose désormais $\varphi'$ croissante. Montrer la réciproque.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour la question 2, on pourra s'intéresser à la quantité $\bigstar = \left (  \frac{\varphi(bx)-\varphi(ax)}{\varphi(x)} \right )$ 
pour $(a,b) \in \mathbb{R}^{*}_{+}$.
(Regarder la limite de $\bigstar$ quand $x \to + \infty$, puis essayer de réarranger $\bigstar$ pour faire apparaître du $\varphi '$.)
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