Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Soit $M(a,b,c)=\begin{pmatrix}a & b & c\\c & a & b\\b & c & a \end{pmatrix}$ et $E=\{M(a,b,c)\ /\ (a,b,c)\in\mathbb R^3\}.$
1. On note $J=M(0,1,0).$ Calculer $J^2.$ Exprimer $M(a,b,c)$ en fonction de $I_3$, $J$ et $J^2.$
2. $E$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathfrak M_3(\mathbb R)$ ? Si oui, quelle est sa dimension ? Est-il stable par produit ?
3. La matrice $J$ est-elle diagonalisable sur $\mathbb C$ ? Donner ses valeurs propres en fonction de $j=\mathrm e^{\frac{2i\pi}3}$ ainsi que les vecteurs propres associés.
4. La matrice $M$ est-elle diagonalisable sur $\mathbb C$ ?
5. Montrer que $M$ est diagonalisable sur $\mathbb R$ si et seulement si $b=c.$
6. On note $f_{a,b,c}$ l'endomorphisme associé à la matrice $M(a,b,c).$ Conditions sur $a,b,c$ pour que $f_{a,b,c}$ soit un projecteur ? Donner alors son image et son noyau.
Exercice 2
On pose $f(x,y)=x\ln y-y\ln x$ pour $(x,y)\in\mathbb {R^*_+}^2.$
Déterminer les extremums de $f$ sur $\mathbb {R^*_+}^2.$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuveExercice 1
N'ayant pas préparé la dernière question, l'examinateur m'a guidé en me demandant le lien entre cette dernière question et les précédentes.
Exercice 2
L'examinateur m'a demandé d'étudier le point $(e,e).$
Commentaires divers
L'examinateur était agréable, facilitait l'échange lors de l'oral.
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