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Epreuve Orale 3760

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2017

Filière : MP

Concours : Centrale-Supélec

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Espace vectoriel normé - Mathématiques 1 - Topologie

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension $n$, on note $\|\cdot\|$ sa norme. On définit, pour tout $f \in \mathcal{L}(E)$ :
$N(f) = \|f\|_\infty = \sup\{\|f(x)\|, x \in S\}$ avec $S$ la sphère unité.
1) Montrer que $N$ est bien définie, puis que $N(f) = 0 \Leftrightarrow f = 0$.
     (On peut ainsi montrer que $N$ est une norme, mais ce n'est pas demandé.)
2) Soit $G$ un sous-groupe de $\mathcal{GL}(E)$ tel que $\forall g \in G, N(g - Id_E)  < 1$. Soit $g \in G$.
     Montrer que $\operatorname {Sp}(g) \subset \mathbb{U}$.
     En déduire que $\operatorname {Sp}(g) = \{1\}$.
3) Montrer que $G = \{Id_E\}$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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