Exercice 1
Soit $n \in \mathbb{N^*}$ et $(E)$ l'équation définie sur $\mathbb{R_+}$ par $x^n + \sqrt{n}x - 1 = 0.$
1) Montrer qu'il existe une unique solution à $(E)$ sur $[0, 1]$, que l'on notera $a_n.$
2) Montrer que : $\frac{1}{1 + \sqrt{n}} \leqslant a_n \leqslant \frac{1}{ \sqrt{n}}$. Trouver un équivalent à $a_n$ en $+\infty.$
3) On pose $f_n(x) = {a_n}\ln(1+\frac{x}{n})$ et $S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} f_n(x).$
Trouver $D$ le domaine de définition de $S.$
4) Montrer que $S$ est continue sur $D.$
Exercice 2
Exercice 107 (probabilités) de la banque CCP.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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