Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

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Epreuve Orale 3755

Année : 2017

Filière : MP

Concours : Mines-Télécom (hors Mines-Ponts)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Séries - Suites

Énoncé(s) donné(s)

On pose, pour $n \in \mathbb{N} ^*$, $a_n = \int_{0}^{1} x^n\ln(1-x){\rm \ d}x$.

1) Justifier l'existence des $a_n$. La suite $(a_n)$ converge-t-elle ?

2) Étudier la convergence de $\sum _{n\geqslant 1} a_n$

3) Montrer que $ (n+1)a_n - na_{n-1} = -\dfrac{1}{n+1}$

4) Soit $x \in \mathbb{R}$. Étudier la convergence de la série $\sum _{n\geqslant 1} a_nx^n$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

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