Énoncé(s) donné(s)
On note $L$ l'espace vectoriel des suites réelles indexés par $\mathbb{N}^*$. On introduit l'endomorphisme $D : L \rightarrow L$ qui réalise un décalage d'indexation : $D(u)_n = u_{n+1}$
1) Soit $P \in \mathbb{R}_2[X].$ Déterminer $\operatorname{Ker}P(D).$
2) Soit $d\in \mathbb{N}^*$ et $P\in \mathbb{R}_d[X]$ fixé. Soit $(u_n) \in \operatorname{Ker}P(D).$ Soit $Q \in \mathbb{R}_d[X]$ tel que : $\forall i \in [\![1,2d]\!],\ Q(D)(u)_i = 0.$ Montrer que $(u_n) \in \operatorname{Ker}Q(D).$
3) Connaissant $(u_1,\dots,u_{2d})$, proposer une méthode pour retrouver $P.$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
1) L'examinateur m'a ensuite interrogé sur la manière d'obtenir la formule du terme général d'une suite définie par une relation de récurrence linéaire d'ordre 2. Puis de donner une CNS pour que les termes soient réels.
Commentaires divers
Oral Maths 1
Commentaire du modérateur
Bien que confirmées par le candidat, les hypothèses ne me semblent pas pertinentes : personnellement, je traite l'exercice en supposant d'abord $P$ unitaire de degré $d$, puis en remplaçant l'intervalle $[\![1,2d]\!]$ par $[\![1,d]\!]$ et enfin en supposant à la question 3 que $d$ est minimal pour la propriété $(u_n) \in \operatorname{Ker}P(D).$
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