Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1:
Soit $x \in \mathbb{R},n\in\mathbb{N},n\geq 2$, et la fonction $f_n : x \mapsto -1 + \sum_{k = 1}^{n} \dfrac{x^k}{k}$.
1) Montrer qu'il existe un unique $x_n \in ]0,1[ $ tel que $f_n(x_n) = 0$.
2) Montrer que la suite $(x_n)$ converge vers $l \in [0,1[$.
3) Calculer $l$.
Exercice 2:
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \lambda \in \mathbb{R},X,Y \in \mathcal{M}_{n,1} (\mathbb{R})$ tel que : $AX = \lambda X, ^{t} Y A = \lambda ^{t} Y, $
$ ^{t} Y X \neq 0$. On a de plus rg$(A - \lambda I_n) = n-1$.
Montrer que $\lambda$ est valeur propre simple de A.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuveExercice 2 :
Considérer $ E = \left\lbrace Z \in \mathcal{M}_{n,1} (\mathbb{R}) | ^{t}YZ =0 \right\rbrace$. Existe-t-il un lien entre A et E ?
Commentaires divers
Oral de 50 minutes sans préparation.
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