Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Soit $f\in\mathcal C^0([0,1],\mathbb R)$ telle que $f(0)=f(1)=0.$
On note : $\forall n\in\mathbb N,\begin{array}[t]{cccl}g_n: & [0,1] & \to & \mathbb R\\ & x & \mapsto & f(x^n)\end{array}$

1. Étudier la convergence simple de la suite $(g_n)_{n\in\mathbb N}$ sur $[0,1]$.
2. Montrer que si $(g_n)_{n\in\mathbb N}$ converge uniformément sur $[0,1]$, alors $f$ est la fonction nulle.
    indication : on pourra commencer par déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac\alpha n\right)^n.$
3. Soit $a\in[0,1[.$ Montrer que $(g_n)_{n\in\mathbb N}$ converge uniformément sur $[0,a].$

Exercice 2
On travaille dans $E=\mathbb R[X].$
1. Montrer que, pour tout polynôme $P$ de $E$, la fonction $x\mapsto \mathrm e^x\displaystyle\int_x^{+\infty}\mathrm e^{-t}P(t)\,\mathrm dt$ est définie sur $\mathbb R.$
    Montrer que c'est une fonction polynôme. On note $u(P)$ le polynôme associé :
                $\forall x\in\mathbb R,\ u(P)(x)=\mathrm e^x\displaystyle\int_x^{+\infty}\mathrm e^{-t}P(t)\,\mathrm dt.$
2. Montrer que $u$ est un automorphisme et déterminer $u^{-1}.$
3. Quatre autres questions avec des histoires d'orthogonal et de supplémentaires...

Fichiers joints

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