Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Epreuve Orale 3741

Année : 2017

Filière : PSI

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Diagonalisabilité

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 2

Soit $n\in \mathbb{N^*}, M \in \mathcal{M_n(\mathbb{C})}$ telle que $M^2+\,^t\!M=I_n$.

1. Montrer que si $P$ annule $M$, alors les valeurs propres de $M$ sont racines de $P$.

2. On suppose $M$ symétrique.

a) Montrer que $M$ est diagonalisable.

b) Montrer que $\operatorname{Tr}(M)\det(M) \neq 0$

3. Montrer que si $M$ n'est pas symétrique, alors $M$ est diagonalisable.

4. Montrer que : $M$ inversible $\Leftrightarrow 1\notin \operatorname{Sp}(M)$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
NC
Commentaires divers
NC

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