Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Pour $n\geqslant 2$ et pour $x\in \mathbb{R}^{+*}$, on définit $u_n(x)=\frac{\ln(x)}{x^n\ln(n)}$.
1. Donner le domaine $D$ pour lequel $\sum u_n$ converge simplement.
2. Montrer que $\sum u_n$ ne converge pas normalement sur $D$.
3. Montrer que, pour x > 0, $|\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_n(x)|\leqslant \frac1{\ln(1+x)}$.
4. En déduire que l'application $S$ définie sur $D$ par $\forall x\in D, S(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} u_k(x)$ est continue sur $D$.
Exercice 2
Soit $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$.
1. A est-elle diagonalisable ? A est-elle inversible ? Donner les éléments propres de $A$.
2. On définit $B=\begin{pmatrix} A & A \\ A & A \end{pmatrix}$. $B$ est-elle diagonalisable ? Donner les éléments propres de $B$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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