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Epreuve Orale 3697

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2017

Filière : MP

Concours : X (non PC/PSI)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Polynômes

Détails sur l'épreuve Sources

Enoncé
1) Soit $f \ \mathcal C^0$ de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$. On suppose : $\forall k \in [\![0,n-1]\!],\ \int_{0}^{1} f(t)t^k \,\mathrm dt = 0.$
Montre que $f$ s'annule au moins $n$ fois sur $[0,1] .$
2) Soit $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R},\  2\pi$ -périodique. On suppose : $\forall k \in [\![0,n-1]\!], \ \int_{0}^{2\pi} f(t)\cos kt\, \mathrm dt = 0 = \int_{0}^{2\pi} f(t)\sin kt\,\mathrm dt .$
    Montrer que $f$ s'annule au moins $2n$ fois.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve :
1) Après une vingtaine de minute : faire par l'absurde en utilisant un certain polynôme.
2) Après quelques minutes : faire par l'absurde en utilisant $P = \prod_{k=1}^r (X - \mathrm e^{i\alpha_{k}})$ et $G =\mathrm e^{-irt}P(\mathrm e^{iX})$, avec $r$ le nombre de racines de $f$ et les $\alpha_{k}$ ces racines.

Commentaires divers
L'examinateur n'a clairement pas du tout apprécié que je me ramène à un polynôme pour étendre le résultat par densité (ce qui n'était clairement pas possible). Il a par contre semblé apprécier les dessins qui permettaient d'y voir plus clair.

Commentaires

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