Exercice 1
Résoudre $x^2y'' + 5xy' + 4y = 0$.
Exercice 2
Soit $\alpha, \beta, \gamma$ les 3 angles d'un triangle. Montrer que : $\frac{1}{\sin \alpha} + \frac{1}{\sin \beta} \geqslant \frac{8}{3 + 2\cos \gamma}.$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve :
Exercice 1 : Poser $y(\mathrm e^u) = f(u)$
Exercice 2 : Utiliser la convexité de $g$ : $\alpha\mapsto \frac 1{\sin\alpha}$.
Commentaires divers :
(SPOIL)
Exercice 1 : L'indication n'a été donnée qu'au bout d'une vingtaine de minutes. L'examinateur m'a laissé faire un développement en série entière, et a été bienveillant en disant qu'il était évident qu'on ne pouvait pas savoir qu'il ne marcherait pas. Il a ensuite laissé quelques minutes, pendant lesquelles j'ai eu le temps de trouver une solution particulière (aidé par le calcul de DSE, on remarque que le polynôme trouvé s'annule en -2), de donner la structure de l'ensemble des solutions (il aurait donc suffi de trouver une autre solution) avec le théorème de Cauchy, et de chercher à vectorialiser. Il m'a demandé pourquoi la solution $t \mapsto exp(\int_{0}^t A(x)dx)$ ne marchait pas dans le cas général.
L'examinateur a (il me semble) beaucoup apprécié que je sache factoriser rapidement des polynômes de degré 2 (en cherchant les diviseurs du terme constant), la fluidité du calcul, et l'honnêteté : pour passer des solutions de type $f$ à celle de type $y$, j'ai dit que je savais comment passer de l'un à l'autre mais que je n'en étais pas sûr et que j'allais donc le montrer.
Exercice 2 : L'indication a été donnée après 5 minutes de recherche, notamment des dessins (un peu inutiles mais bienvenus pour l'examinateur). Il a apprécié que je cite le caractère $C^2$ de $g$ pour montrer la convexité.
Il me semble (sans en être sûr) que l'examinateur n'avait pas fait les exercices dans leur totalité. Il était bienveillant et m'invitait à rectifier mes erreurs, sans les pointer directement ("allez voir de ce côté là...").
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