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Epreuve Orale 3675

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2017

Filière : MP

Concours : Centrale-Supélec

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Diagonalisabilité - Matrices

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Exercice Centrale 2 : 
On pose $ J_n= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots &\ddots & \vdots \\ 0 & & & \ddots & 1 \\ 1 & 0 & \ldots & \ldots & 0 \\ \end{pmatrix} $ et $ M_n = I_n + J_n $

1. A l'aide du module Python déterminer :
         a. Les valeurs propres de $M_3 , J_3 , M_4 , J_4 $ puis conjecturer la diagonalisabilité.
         b. Le rang de $M_3 , M_4, M_5, M_6$.

2. Calculer $J^n_n$ et en déduire le caractère diagonalisable de $J_n$ et de $M_n$ sur $\mathbb{C}$.

3. Calculer rg$(M_n) $ en fonction de $n$.

4. Montrer que la suite $((\frac{1}{2} M_n)^k)_{k\in \mathbb{N}} $ converge.

5. On définit les points $A_1 , \ldots , A_n $, et $P_0$ le polygone dont les sommets sont ces points. On définit pour $k \in \mathbb{N} $ le polygone $ P_{k+1}$ comme le polygone dont les sommets sont les milieux des côtés du polygone $P_k$. Pour tout $i$ tel que $ 1 \leq i \leq n $ et tout $k \in \mathbb{N}$ on définit $z_i^k$ l'affixe du sommet $i$ du polygone $P_k$, et $X_k = \left( \begin{array}{c} z_1^k \\ \vdots \\ z_n^k \end{array} \right) $ le vecteur associé.
         a. Montrer que l'on peut exprimer $X_k$ en fonction de $X_0$ et de $M_n$
         b. Question non traitée, de mémoire sur la convergence de la suite des $X_k$ et des polygones $P_k$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
$\emptyset $ 
Commentaires divers
Centrale 2 , 30 minutes de préparation avec ordinateur. 

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