Énoncé(s) donné(s)
On pose $E=\mathcal C^{0}([0,1],\mathbb{R})$ et $T$ de $E$ dans $E$ tel que :
$\forall f \in E,\, \forall x \in [0,1],\ T(f)(x)=\frac{1}{2} \left(f(\frac{x}{2})+f(\frac{x+1}{2})\right).$
1) Montrer que $T$ est un endomorphisme de $E$ et que pour tout $f$ dans $E$, on a :
$\int_{0}^{1} T(f)(x)\,\mathrm dx = \int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm dx$
2) Pour tout entier naturel $d$ on pose $E_{d}= \mathbb{R}_{d}[X]$.
On note $T_{d}$ la bi-restriction de $T$ à $E_{d}$.
Montrer que $T_{d}$ est diagonalisable, en donner les valeurs propres et les sous-espaces propres associés.
3) Montrer que pour tout élément $f$ de $E$, la suite de fonctions $T^{n}(f)$ converge uniformément vers la fonction constante égale à $\int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm dx$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuveOn peut montrer la diagonalisabilité en calculant les valeurs propres.
Commentaires divers
NC
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