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Epreuve Orale 3673

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2017

Filière : MP

Concours : Centrale-Supélec

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Algèbre linéaire - Endomorphismes

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
On pose $E=\mathcal C^{0}([0,1],\mathbb{R})$ et $T$ de $E$ dans $E$ tel que :
               $\forall f \in E,\, \forall x \in [0,1],\ T(f)(x)=\frac{1}{2} \left(f(\frac{x}{2})+f(\frac{x+1}{2})\right).$

1) Montrer que $T$ est un endomorphisme de $E$ et que pour tout $f$ dans $E$, on a :
               $\int_{0}^{1} T(f)(x)\,\mathrm dx = \int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm dx$

2) Pour tout entier naturel $d$ on pose $E_{d}= \mathbb{R}_{d}[X]$.
    On note $T_{d}$ la bi-restriction de $T$ à $E_{d}$.
    Montrer que $T_{d}$ est diagonalisable, en donner les valeurs propres et les sous-espaces propres associés.

3) Montrer que pour tout élément $f$ de $E$, la suite de fonctions $T^{n}(f)$ converge uniformément vers la fonction constante égale à $\int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm dx$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
On peut montrer la diagonalisabilité en calculant les valeurs propres.
Commentaires divers
NC

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