Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Soient $n \in \mathbb{N}$ et $X_1,\dots,X_n$ $n$ variables aléatoires telles que $\forall i \in \left\{ 1,\dots,n \right\}, X_i \sim\mathscr{U}(\left\{1,\dots,i \right\})$ (loi uniforme sur $\left\{1,\dots,i\right\}$). On considère alors la variable aléatoire $S_n = (1 \; X_1)(2 \; X_2)\dots(n \; X_n)$, à valeurs dans $\mathfrak{S}_n$. Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_n$. Calculer $\mathbb{P}(S_n=\sigma)$.
Exercice 2
Soit $S_n$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathfrak{S}_n$, vérifiant $S_n \sim\mathscr{U}(\mathfrak{S}_n)$ (loi uniforme sur $\mathfrak{S}_n$). Notons alors $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de points fixes de $S_n$, à valeurs dans $\mathbb{N}$ . Montrer que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \mathbb{P}(X_n=0) = \frac{1}{\mathrm e}$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour le premier exercice, après m'avoir laissé examiner quelques cas simples, l'examinateur m'a suggéré de montrer par récurrence que $S_n$ suit en fait une loi uniforme sur $\mathfrak{S}_n$, et m'a aidé pour le passage d'un rang au suivant. Aucune indication particulière n'a été donnée pour la seconde planche.
Commentaires divers
L'examinateur a insisté, pour la récurrence de la première planche, sur le fait qu'il fallait manipuler rigoureusement les objets (ne pas mélanger des permutations de $\mathfrak{S}_n$ et des permutations de $\mathfrak{S}_{n+1}$ par exemple). Pour la deuxième planche, il m'a fait remarquer une erreur de signe dans la formule du crible de Poincaré et je n'ai pas eu le temps de terminer la planche.
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