Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Soit $E$ l'espace des fonction de classe $\mathcal C^1$ de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ et $\phi$ une forme linéaire positive non nulle. Soit $p_\phi :\ f\mapsto |\phi(f)|+\int_0^1|f'|$.
Par exemple pour $\phi : f \mapsto f(0)$ on note $p_0$ la fonction associée.
1) Montrer que pour tout $f$ : $|\phi(f)| \leqslant \phi(1)\cdot\|f\|_{\infty}$. En déduire que $p_\phi$ est une norme.
2) Montrer que $p_0$ et $p_\phi$ sont équivalentes.
Exercice 2
Soit $A$ un polynôme de degré au plus $n.$ On considère $\phi : P \mapsto (AP)^{(n)}$ pour tout polynôme de degrés inférieur à $n.$
1) CNS pour que $\phi$ soit bijectif.
2) CNS pour que $\phi$ soit diagonalisable.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
NC
Commentaires divers
NC
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