Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1Soit $\lambda >0$.
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$ telles que $\forall (n,m)\in \mathbb{N}^{2},\, P(X=n,Y=m)=\frac{1}{\lambda }\binom{n+m}{n}\left ( \frac{\lambda }{2\lambda +1} \right )^{n+m+1}$.
1) Soit $p\in \mathbb{N}$. Développer la fonction $t \mapsto \frac{1}{(1-t)^{p+1}}$ sur $\left]-1,1\right[$.
2) Calculer $\forall (s,t)\in [-1,1]\: F(s,t)=E(s^{X}t^{Y})$.
3) En déduire la fonction génératrice de $X$, sa loi, son espérance et sa variance.
4) Calculer $\operatorname{Cov}(X,Y)$.
Exercice 2
Soit $n\in \mathbb{N}^{\ast }$ et $E=\mathbb{R}_{n}[X]$
Soient $u,\Delta \in \mathcal L(E)$ tels que $\forall P \in \mathcal L(E),\: u(P)=P(X+1)$ et $\Delta (P)=P(X+1)-P(X)$.
1) Montrer que $u\in \mathrm{GL}(E)$. Donner la matrice $A$ de $u$ dans la base canonique $\mathcal C=(1,X,\ldots ,X^{n})$. Déterminer $A^{-1}$.
2) Donner le degré de $\Delta(P)$ en fonction de celui de $P$. Déterminer $\operatorname{Ker}\Delta$ et $\operatorname{Im}\Delta$.
3) Donner les valeurs propres de $u$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
NC
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NC
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