Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Soit $x>0$, on définit $S(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty}\prod_{k = 0}^{n}\frac{1}{x+k}$
1) Montrer que $S$ est bien définie et continue sur $]0,+\infty[$
2) Trouver une relation entre $S(x+1)$ et $S(x).$
3) Trouver un équivalent de $S(x)$ en $0$ et en $+\infty.$
Exercice 2
Soit $A\in \mathfrak M_n(\mathbb{K}).$
On pose $B = \begin{pmatrix} 0& I_{n} \\ A & 0 \end{pmatrix}$
1) Étudier les valeurs propres de $B$ en fonction de celles de $A$.
2) On suppose $A$ diagonalisable, $B$ est-elle diagonalisable?
Questions de cours à la fin:
1) Théorème spectral.
2) Diagonalisation des matrices antisymétriques.
3) Théorème de la double limite
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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