Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Soit $A\in \mathcal S_n^+(\mathbb R)$.
1. Montrer qu'il existe $B\in\mathcal S_n^+(\mathbb R)$ telle que $B^2=A. $
2. Soit $(M,N)\in \mathcal S_n^+(\mathbb R)\times \mathcal S_n^{++}(\mathbb R)$. Montrer qu'il existe $P\in \mathrm {GL}_n(\mathbb R)$ et $D\in D_n $ telles que $M=\, ^t\!PDP$ et $N=\,^t\!PP.$
3. Soit $M,N\in \mathcal S_n^{+}(\mathbb R)$. Montrer que $\det (M+N)\geqslant \det M + \det N. $
4. Montrer que $\mathcal S_n^+(\mathbb R)$ et $ \mathcal S_n^{++}(\mathbb R)$ sont des parties convexes de $\mathcal S_n(\mathbb R)$.
5. ??
6. Montrer que $\psi :M\mapsto\ln \det M$ est concave sur $\mathcal S_n^{++}(\mathbb R).$
Exercice 2
On pose pour $x>0 : \forall n\in \mathbb N,\ u_n (x)=\displaystyle\frac 1 {x (x+1)\dots (x+n)}$ et $S (x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}u_n (x).$
1. Montrer que $S $ est bien définie.
2. Montrer que $S $ est $\mathcal C^0$ sur $\mathbb R^*_+$. A-t-on convergence uniforme sur $\mathbb R^*_+$ ?
3. Montrer que $\forall x>0,\ xS(x)=1+S (x+1).$
4. Donner un équivalent de $S $ en 0.
5. Décomposer $u_n (x) $ en éléments simples.
6. Écrire $S (x) $ comme un produit de Cauchy et trouver une autre expression de $S(x)$ ne faisant pas intervenir de produit.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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