Epreuve Orale 3631

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2017
Filière : 
MP
Concours : 
Banque Mines-Ponts
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Matrices symétriques, Fonction concave, Séries de fonctions
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1 
 Soit $A\in \mathcal S_n^+(\mathbb R)$. 
1. Montrer qu'il existe $B\in\mathcal S_n^+(\mathbb R)$ telle que $B^2=A. $ 
2. Soit $(M,N)\in \mathcal S_n^+(\mathbb R)\times \mathcal S_n^{++}(\mathbb R)$. Montrer qu'il existe $P\in \mathrm {GL}_n(\mathbb R)$ et $D\in D_n $ telles que $M=\, ^t\!PDP$ et $N=\,^t\!PP.$ 
3. Soit $M,N\in \mathcal S_n^{+}(\mathbb R)$. Montrer que $\det (M+N)\geqslant \det M + \det N. $ 
4. Montrer que $\mathcal S_n^+(\mathbb R)$ et $ \mathcal S_n^{++}(\mathbb R)$ sont des parties convexes de $\mathcal S_n(\mathbb R)$. 
5. ??
6. Montrer que $\psi :M\mapsto\ln \det M$ est concave sur $\mathcal S_n^{++}(\mathbb R).$

 Exercice 2 
 On pose pour $x>0 : \forall n\in \mathbb N,\ u_n (x)=\displaystyle\frac 1 {x (x+1)\dots (x+n)}$ et $S (x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}u_n (x).$ 

1. Montrer que $S $ est bien définie. 
2. Montrer que $S $ est $\mathcal C^0$ sur $\mathbb R^*_+$. A-t-on convergence uniforme sur $\mathbb R^*_+$ ? 
3. Montrer que $\forall x>0,\ xS(x)=1+S (x+1).$ 
4. Donner un équivalent de $S $ en 0. 
5. Décomposer $u_n (x) $ en éléments simples. 
6. Écrire $S (x) $ comme un produit de Cauchy et trouver une autre expression de $S(x)$ ne faisant pas intervenir de produit.


Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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