Énoncé(s) donné(s)Exercice 1
Soit $E$ l'espace des fonctions continues de $[0,\pi]$ dans $\mathbb R$.
On pose $\langle f,g\rangle =\frac 1\pi \int_{0}^{\pi} f(t)g(t) \,\mathrm dt.$
(i) Montrer qu'on a ainsi défini un produit scalaire.
(ii) On pose $e_{0} : t \mapsto 1 $ et pour $k > 0$, $e_{k} : t\mapsto \sqrt{2}\cos kt$. Interpréter $S_{n}(f) = \sum\limits_{k=0}^n { \left< f,e_{k}\right>e_{k}}$.
(iii) Montrer que $\sum\limits_{k\geqslant 0} { \left< f,e_{k}\right>^{2}} $ converge.
(iv) Montrer que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une fonction $p$ polynomiale telle que $\| f - p\circ \cos\|_{\infty} \leqslant \varepsilon$.
(v) Montrer $\| f - S_{n}(f)\|\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0$ et déterminer la somme de $ \sum\limits_{k\geqslant 0} { \left< f,e_{k}\right>^{2}}$.
Exercice 2
Soient $A$ et $B$ des matrices symétrique réelles d'ordre $n$. On suppose que pour tout $X$ dans $M_{n,1}( \mathbb{R}) \setminus \{0\}$, $X^T BX > 0$. Montrer que $A + iB$ est inversible.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Dans l'exercice 2, après m'être ramené à la réduction de $AB^{-1}$, l'examinateur m'a demandé de montrer que $ X \mapsto AB^{-1}X$ était un endomorphisme symétrique pour un certain produit scalaire.
Commentaires divers
L'examinateur était ouvert à des démonstrations orales. A la fin, il m'a demandé si je connaissais la coréduction (pas totalement sûr du terme) qu'il avait évoqué auparavant, tout en me rappelant que ces notions n'étaient pas au programme.
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