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Epreuve Orale 3625

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2017

Filière : MP

Concours : Banque Mines-Ponts

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Espaces préhilbertiens - Matrice définie positive - Séries de Fourier - Théoreme spectral

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Soit $E$ l'espace des fonctions continues de $[0,\pi]$ dans $\mathbb R$.
On pose  $\langle f,g\rangle =\frac 1\pi \int_{0}^{\pi} f(t)g(t) \,\mathrm dt.$
(i)   Montrer qu'on a ainsi défini un produit scalaire.
(ii)  On pose $e_{0} : t \mapsto 1 $ et pour $k > 0$, $e_{k} : t\mapsto \sqrt{2}\cos kt$. Interpréter $S_{n}(f) = \sum\limits_{k=0}^n { \left< f,e_{k}\right>e_{k}}$.
(iii) Montrer que $\sum\limits_{k\geqslant 0} { \left< f,e_{k}\right>^{2}} $ converge.
(iv) Montrer que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une fonction $p$ polynomiale telle que $\| f - p\circ \cos\|_{\infty} \leqslant \varepsilon$.
(v)  Montrer $\| f - S_{n}(f)\|\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0$ et déterminer la somme de  $ \sum\limits_{k\geqslant 0} { \left< f,e_{k}\right>^{2}}$.

Exercice 2
Soient $A$ et $B$ des matrices symétrique réelles d'ordre $n$. On suppose que pour tout $X$ dans $M_{n,1}( \mathbb{R}) \setminus \{0\}$,  $X^T BX > 0$. Montrer que $A + iB$ est inversible.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Dans l'exercice 2, après m'être ramené à la réduction de $AB^{-1}$, l'examinateur m'a demandé de montrer que $ X  \mapsto AB^{-1}X$ était un endomorphisme symétrique pour un certain produit scalaire.

Commentaires divers
L'examinateur était ouvert à des démonstrations orales. A la fin, il m'a demandé si je connaissais la coréduction (pas totalement sûr du terme) qu'il avait évoqué auparavant, tout en me rappelant que ces notions n'étaient pas au programme.

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