Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 : exercice n° 51 de la Banque CCP.
Exercice 2
Soit $\mathrm {SO}_n (\mathbb R) $ le groupe des matrices spéciales orthogonales et $F_n $ le sous-espace vectoriel qu'elles engendrent.
On a $\langle A,B\rangle=\operatorname {Tr}(^t\!AB)$, produit scalaire naturel sur $\mathfrak M_n (\mathbb R). $
1. Cas $n=2.$ Montrer que $F_2=\left\{ \pmatrix {a & -b\\b & a},\ a,b\in\mathbb R \right\}.$
2. Cas $n\geqslant 3. $
a) Montrer que : $\forall A\in \mathcal A_n(\mathbb R),\ \exp A\in \mathrm {SO}_n (\mathbb R).$
b) Montrer que $\mathcal A_n (\mathbb R)^{\perp}=\mathcal S_n (\mathbb R)$.
3. ?
4. ?
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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