Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

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Année : 2017

Filière : MP

Concours : Banque Mines-Ponts

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Distance à un sous espace - Espace euclidien - Interversion des symboles mathématiques - Suite

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Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1

Soit $\alpha$ tel que $0<\alpha < \frac{\pi}{2}$ et $(u_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ définie par $\forall n \in \mathbb{N}^*, \ u_n=\int_{0}^{\pi}\frac{\sin nt}{1-\sin \alpha \cos t}\,\mathrm dt$.

Trouver $(a_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ telle que $\frac{1}{1-\sin\alpha\cos t}=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\cos nt$ et calculer $u_n$.

Exercice 2

Soit $n\in \mathbb{N}^*$. Montrer que le minimum de $\sum_{i=0}^n (i^n-P(i))^2$ pour $P\in\mathbb{R}_{n-1}[X]$ existe et le calculer.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Exercice 1 : Ecrire $\cos t$ en fonction de $\exp(it)$ et poser $X=\exp(it).$

Exercice 2 : Donner une base orthonormale pour le produit scalaire que l'on définit afin de faciliter les calculs
Commentaires divers
Oral de 50 minutes sans préparation

Epreuve Orale 3572

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