Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Montrer que $\displaystyle\int_0^1 x^x\, \mathrm{d}x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^n}$.

Exercice 2 (posé directement au tableau)

On pose la matrice $A = \begin{pmatrix} 0&\cdots&0&-a_0 \\ 1&\ddots&\vdots&-a_1 \\ &\ddots&0&\vdots \\ (0)&&1&-a_n \end{pmatrix}$, avec $a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}$ réels.

1) Trouver le polynôme caractéristique de $A.$

2) Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $\chi_A$ est simplement scindé.

3) Trouver les matrices qui commutent avec $A.$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
2-2)Je lui ai dit qu'il fallait montrer que les espaces propres étaient de dimension 1. Après m'avoir confirmé que c'était la bonne méthode, il m'a dit de considérer $\lambda$ une valeur propre pour $A$ et regarder le rang de $A-\lambda I_n$.
Commentaires divers
Examinateur peu bavard, qui me laissait beaucoup chercher seule au tableau avant de me donner éventuellement des indications, mais cependant agréable.