Énoncé(s) donné(s)On considère une fonction
continue $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telle que pour toute matrice carrée d'ordre $n > 0$ réelle
inversible $A=(a_{ij})$, la matrice $A'=(f(a_{ij}))$ soit également
inversible.
1) Montrer que pour tous réels distincts $x,y$ la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ x & y \end{pmatrix}$ est inversible. En déduire que $f$ est injective.
2) On suppose $f$ surjective. En considérant les matrices $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1\\ x & y & z \end{pmatrix}$ pour $x,y,z$ réels avec $z \neq x+y$ montrer que $f(x+y)=f(x)+f(y)$.
3) Montrer que $f$ est surjective. Conclure quant à $f$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
2) Montrer en premier lieu $f(0)=0$.
3) En essayant de montrer par l'absurde que $f$ n'était pas bornée, l'examinateur m'a invité à traduire explicitement l'hypothèse faite sur $f$ quand $n=2$.
Commentaires divers
Oral de 30 minutes sans préparation.
Examinateur assez distant mais très correct. Il m'a interrompu au milieu de la question 3) après vu que je pouvais conclure pour aborder une question de cours.
Il m'a ainsi demandé de lui parler du produit de Cauchy. Nous avons construit en dialoguant à la toute fin un contre-exemple lorsqu'il n'y a pas absolue convergence.
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