Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 : exercice n°37 de la Banque CCP.
Exercice 2
Soit $E$ espace vectoriel de dimension finie $n$.
Soit $u\in \mathcal L(E)$ et $f$ l'endomorphisme de $\mathcal L(E)$ défini par $\forall v\in \mathcal L(E),\ f(v)=u\circ v.$
1. a) Montrer que $\operatorname{Sp}f\subset \operatorname{Sp}u$
b) Soient $\lambda \in \operatorname{Sp}u$ et $E_{\lambda }$ le sous-espace propre associé. Soit $v$ un projecteur sur $E_{\lambda }$.
Montrer que $v$ est propre pour $f$. En déduire que $\operatorname{Sp}f=\operatorname{Sp}u.$
2. Soient $E_{\lambda }$ et $\Delta _{\lambda }$ les sous-espaces propres respectivement associés à $u$ et à $f$ pour la même valeur propre $\lambda $.
On admet que $\dim \Delta _{\lambda }=n\dim E_{\lambda }$.
Montrer que ($u$ diagonalisable $\Rightarrow f$ diagonalisable).
3. Montrer que $u$ et $f$ ont le même polynôme minimal.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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