Énoncé(s) donné(s)
Soit $p$ un nombre premier et $\alpha \in ]0,1[$. On définit la fonction $\nu_p$ comme suit : pour $x \in \mathbb{N}, \exists! m \in \mathbb{N}, x=p^ma_1$ où $a_1$ est premier avec $p$.
On a alors $\nu_p(x) = \alpha^m$. Par convention, on pose $\nu_p(0) = 0$.
1. Écrire la fonction $\nu_p$ sur un logiciel de calcul formel pour $p = 2$ et $\alpha = \frac{1}{2}$. On a par exemple $\nu_p(24) = \frac{1}{8}$. Montrer les résultats suivants :
a) $\nu_p(xy) =\nu_p(x)\nu_p(y)$. b) $\nu_p(x+y) \leq \sup(\nu_p(x),\nu_p(y))$.
c) $\nu_p(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$.
2. On dit qu'une suite converge dans $(\mathbb{Z},\nu_p)$ vers $x$ si $\lim_{n \rightarrow \infty} \nu_p(x_n - x) = 0$. Montrer que la limite d'une suite convergeant dans $(\mathbb{Z},\nu_p)$ est unique.
3. Dans la suite, pour les exemples, on va prendre $p=2$ et $\alpha = \frac{1}{2}$. a) À l'aide du logiciel de calcul formel, conjecturer la limite de la suite $(n!)$ dans $(\mathbb{Z},\nu_p)$. Démontrer ce résultat. b) À l'aide du logiciel de calcul formel, conjecturer la limite de la suite $(u_n)$ avec $u_n = \lfloor(1+ \sqrt{3})^{2n+1}\rfloor$. c) Montrer $2^{n+1} | u_n$.
Indication : On pourra montrer que $Q_n = (1+ \sqrt{3})^{2n+1} + (1 - \sqrt{3})^{2n+1}$ est un entier.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Chercher une relation de récurrence d'ordre 2 pour $Q_n$. Commentaires divers
Il y avait encore jusqu'à la question 6. mais je n'ai pas eu le temps de découvrir ce que c'était.
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